Алгебра.11 клас."Інтеграл та його застосування"

Матеріал з Фізмат Вікіпедії
Перейти до: навігація, пошук

Алгебра.11 клас."Інтеграл та його застосування" План [[Медіа:1.Що таке інтеграл? 2.Границі. 3.Формула Ньютона. 4.Обчислення площ плоских фігур за допомогою інтеграла.]] Визначений інтеграл — в математичному аналізі це інтеграл функції з вказаною областю інтегрування. Визначений інтеграл є неперервним функціоналом, лінійним по підінтегральним функціям і адитивним по області інтегрування. У найпростішому випадку область інтегрування — це відрізок числової осі. Геометричний смисл цього визначеного інтеграла — це площа криволінійної фігури, обмеженої віссю абсцис, двома вертикалями на краях відрізка і кривою графіка функції.

Подальші узагальнення поняття дозволяють розширити його на кратні, поверхневі, об'ємні інтеграли, а також на інтеграли на об'єктах ширшої природи з мірою. Існує кілька різновидів визначених інтегралів: інтеграл Рімана, інтеграл Лебега, інтеграл Стілтьєса, тощо. Інтеграл Рімана

Інтеграл Рімана - найпростіший із визначених інтегралів, є границею інтегральної суми. Для функції однієї змінної f(x), визначеній на відрізку [a,b] та певного розбиття R цього відрізку на відрізки [xi,xi + 1] інтегральна сума визнається як SR = ∑ f(ξi)(xi + 1 − xi), i

де x_i \le \xi_i \le x_{i+1} - будь-яка точка з відрізку.

Якщо існує границя таких сум при прямуванні найбільшої довжини відріку [xi,xi + 1] до нуля, то функція f(x) називається інтегрованою, а границя інтегральної суми називається інтегралом Рімана функції на відрізку [a,b] і позначається

   I = \int_a^b f(x)dx .

Інтеграл Рімана можна також визначити як границю сум Дарбу.

Інші визначення інтегралу розширюють клас інтегрованих функцій, включаючи в них функції, для яких границі інтегральних сум не існує. а певній області визначення D інтеграл є лінійним функціоналом на просторі функцій:

   ~ \int_D af = a\int_D f
   ~ \int_D f+g = \int_D f + \int_D g

тут ~f і ~g — функції, ~a — число. [ред.] Адитивність по області

Якщо області D та E не перетинаються (або "перетинаються в точці"), інтеграл по об'єднаній області D \cup E є сумою інтегралів по D та E:

   ~ \int_{D \cup E} f = \int_D f + \int_E f

[ред.] Монотонність

Якщо hn(x) незростаюча послідовність (тобто h_1 \ge \cdots \ge h_k \ge \cdots) функцій, які збігаються до нуля для всіх x на області інтегрування, тоді \int h_n \to 0. [ред.] Нормованість

Інтеграл сталої функції-константи ~ f(x) = C розраховується "як площа прямокутника"

   ~ \int_D C = \mu(D) C

де μ(D) — це "міра" області інтегрування, в простішому випадку просто довжина інтервала, або ж "площа" області інтегрування. [ред.] Головна теорема інтегрального числення

Якщо у функції f(x) існує первісна F(x), то

   I = \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) 

Ця формула називається формулою Ньютона-Лейбніца, або основною формулою інтегрального числення. Вона дає практичний і зручний спосіб обчислення визначеного інтеграла за значеннями первісної на кінцях відрізку інтегрування. Багатомірні інтеграли обчислюються за допомогою теореми про зведення кратних інтегралів до повторного. [[Медіа:[Категорія:Онлайн довідники:категорія математика]]]