Алгебра. 7 клас. Системи лінійних рівнянь з двома змінніми

Матеріал з Фізмат Вікіпедії
Перейти до: навігація, пошук

Алгебра. 7 клас. "Системи лінійних рівнянь з двома змінними"



Лінійні рівняння

Лінійним рівнянням з двома невідомими називається рівняння виду Sprav-ukr819 fmt2.jpeg, де x і y — невідомі, a, b, і с — числа (коефіцієнти рівняння).

Розв’язком рівняння з двома невідомими називається пара значень невідомих, при яких рівняння перетворюється у правильну числову рівність. Наприклад:

Sprav-ukr820 fmt2.jpeg

Sprav-ukr821 fmt2.jpeg— розв’язок рівняння, адже Sprav-ukr822 fmt2.jpeg — правильно;

Sprav-ukr823 fmt2.jpeg не є розв’язком, бо Sprav-ukr824 fmt2.jpeg — неправильно.

Щоб знайти розв’язок рівняння з двома невідомими, можна підставити в рівняння довільне значення одного невідомого і, розв’язавши одержане рівняння, знайти відповідне значення другого невідомого. Наприклад:

Sprav-ukr825 fmt2.jpeg,

Sprav-ukr826 fmt2.jpeg,Sprav-ukr827 fmt2.jpeg ,

Sprav-ukr828 fmt2.jpeg, Sprav-ukr829 fmt2.jpeg. Рівняння з двома невідомими називаються рівносильними, якщо вони мають одні й ті ж розв’язки або не мають розв’язків.

Властивості рівнянь з двома невідомими відповідають властивостям рівнянь з одним невідомим.

Використовуючи ці властивості, можна знаходити розв’язки рівняння за такою схемою: виразити з даного рівняння одне невідоме через друге, а потім брати довільне значення другого невідомого й обчислювати відповідне значення першого. Наприклад:

Sprav-ukr830 fmt2.jpeg

Графік лінійного рівняння з двома невідомими

Графіком рівняння з двома невідомими називається множина всіх точок координатної площини, координати котрих є розв’язками цього рівняння. Графіком рівняння

Sprav-ukr842 fmt2.jpeg, у якому хоча б один із коефіцієнтів (a або b) відмінний від нуля, є пряма.

Для побудови будь-якої прямої досить знати координати двох точок.

Приклад. Побудуйте графік рівняння Sprav-ukr843 fmt2.jpeg .

Sprav-ukr844 fmt2.jpeg.

Image8756image 15 fmt2.jpeg

Отже, маємо дві точки: Sprav-ukr845 fmt2.jpeg та Sprav-ukr846 fmt2.jpeg .

Позначаємо на координатній площині ці точки і проводимо через них пряму.

Системи лінійних рівнянь з двома невідомими

Якщо треба знайти спільні розв’язки кількох рівнянь, то кажуть, що ці рівняння утворюють систему рівнянь.

Розв’язок системи рівнянь з двома невідомими — пара значень невідомих, яка є розв’язком кожного з рівнянь системи.

Розв’язати систему рівнянь означає знайти всі її розв’язки або довести, що їх немає.

Графічний спосіб розв’язування систем лінійних рівнянь

Щоб розв’язати систему рівнянь графічно, треба побудувати в одній системі координат графіки рівнянь системи й знайти їхні спільні точки. Координати цих точок і є розв’язками системи рівнянь.

Виходячи з того, що графіком лінійного рівняння є пряма, робимо висновок, що система двох лінійних рівнянь з двома невідомими може мати один розв’язок, не мати розв’язків, мати безліч розв’язків.

Image8756image 50 fmt2.jpeg

Image8756image 17 fmt2.jpeg

Спосіб підстановки

При розв’язуванні систем лінійних рівнянь способом підстановки треба:

  • виразити з якого-небудь рівняння системи одне невідоме через інше;
  • підставити одержаний вираз в інше рівняння системи замість цього невідомого;
  • розв’язати одержане рівняння з одним невідомим;
  • знайти відповідне значення іншого невідомого.

Спосіб додавання

При розв’язуванні системи рівнянь способом додавання треба:

1) помножити обидві частини рівнянь системи на такі числа, щоб коефіцієнти при одному з невідомих стали протилежними (або рівними) числами;

2) почленно додати (або відняти) відповідно ліві й праві частини рівнянь;

3) розв’язати одержане рівняння з одним невідомим;

4) знайти відповідне значення іншого невідомого.