5. Теорема Вієта.

Матеріал з Фізмат Вікіпедії
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Вієта. Сума коренів наведеного квадратного тричлена x2 + px + q = 0 дорівнює його другому коефіцієнту p з протилежним знаком, а твір - вільному члену q, тобто x1 + x2 = - p і x1 x2 = q

Теорема Вієта чудова тим, що, не знаючи коренів квадратного тричлена, ми легко можемо обчислити їх суму й добуток, тобто найпростіші симетричні вираження x1 + x2 і x1 x2. Так, ще не знаючи, як обчислити корені рівняння x2 - x - 1 = 0, ми, тим не менше, можемо сказати, що їх сума повинна дорівнювати 1, а добуток має дорівнювати -1. 
Теорема Вієта дозволяє вгадувати цілі коріння квадратного тричлена. Так, знаходячи корені квадратного рівняння x2 - 5x + 6 = 0, можна почати з того, щоб спробувати розкласти вільний член (число 6) на два множника так, щоб їх сума дорівнювала б числу 5. Це розкладання очевидно: 6 = 2 * 3, 2 ​​+ 3 = 5. Звідси повинно випливати, що числа 2 і 3 є шуканими корінням.

Обернена Теорема Вієта. Якщо числа x1 і x2 задовольняють співвідношенням x1 + x2 = - p і x1 x2 = q, то вони задовольняють квадратне рівняння x2 + px + q = 0.

Теорема Вієта застосовується для підбору коренів квадратних рівнянь. Можна розширити рамки використання цієї теореми, наприклад, для вирішення систем рівнянь. Це скорочує час і спрощує вирішення системи.

Розглянемо систему рівнянь x + y = 5xy = 6 Якщо припустити, що x і y - коріння деякого наведеного квадратного рівняння, сума коренів якого дорівнює 5, а їх добуток дорівнює 6, то отримаємо сукупність двох систем x = 3y = 2 і x = 2y = 3.

Співвідношення між корінням і коефіцієнтами наведеного квадратного рівняння x2 + px + q = 0.

   x21 + x22 = (x1 + x2) 2-2x1x2x21 + x22 = p2-2q;
   x31 + x32 = (x1 + x2) ((x1 + x2) 2-3x1x2) x31 + x32 =- p (p2-3q)