Відмінності між версіями «Геометрія. 10 клас. Паралельність прямих і площин у просторі»

Матеріал з Фізмат Вікіпедії
Перейти до: навігація, пошук
Рядок 1: Рядок 1:
 
                         '''Геометрія. 10 клас. Паралельність прямих і площин у просторі'''
 
                         '''Геометрія. 10 клас. Паралельність прямих і площин у просторі'''
  
  Зміст
+
1.Паралельність прямих і площини.
+
                               
2.Ознака паралельності прямих.
+
==  '''Паралельність прямих і площини''' ==
3.Ознака паралельності прямої і площини.
 
4.Ознака паралельності площин.
 
  
 
                                  '''Паралельність прямих і площини'''
 
  
 
   Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині й не перетинаються. Прямі, які не лежать в одній площині, називаються мимобіж­ними.
 
   Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині й не перетинаються. Прямі, які не лежать в одній площині, називаються мимобіж­ними.
 
+
  '''Зверніть увагу:''' «не лежать в одній площині» і «лежать у різних площинах» — це різні твердження. Наприклад, паралельні прямі a і b лежать у різних площинах і (див. рисунок), але через них можна провести площину, яка міститиме a і b водночас.
==  '''Зверніть увагу:''' «не лежать в одній площині» і «лежать у різних площинах» — це ==
 
різні твердження. Наприклад, паралельні прямі a і b лежать у різних площинах і (див. рисунок), але через них можна провести площину, яка міститиме a і b водночас.
 
 
[[Файл:image8756image_167_fmt.jpeg]]
 
[[Файл:image8756image_167_fmt.jpeg]]
 
   Для мимобіжних прямих (див. рисунок) не існує такої площини, у якій вони лежали б водночас.
 
   Для мимобіжних прямих (див. рисунок) не існує такої площини, у якій вони лежали б водночас.
Рядок 21: Рядок 15:
 
   Теорема. Через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і тільки одну. 
 
   Теорема. Через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і тільки одну. 
  
                                     '''Ознака паралельності прямих'''
+
                                      
 +
== '''Ознака паралельності прямих''' ==
 +
 
  
 
   Теорема. Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою.
 
   Теорема. Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою.
 
+
Із цієї теореми випливає, що середини сторін просторового чотирикутника (див. рисунок) є вершинами паралелограма (вершини просторового чотирикутника не лежать в одній площині).
== Із цієї теореми випливає, що середини сторін просторового чотирикутника (див. рисунок) є вершинами паралелограма (вершини просторового чотирикутника не лежать в одній площині). ==
 
 
 
 
[[Файл:2.jpeg]]
 
[[Файл:2.jpeg]]
  
 
   '''Зверніть увагу:''' якщо ABCD — просторовий чотирикутник, то його діагоналі AC і BD — мимобіжні прямі.
 
   '''Зверніть увагу:''' якщо ABCD — просторовий чотирикутник, то його діагоналі AC і BD — мимобіжні прямі.
 
  
 
  
                                   '''Ознака паралельності прямої і площини'''
+
                                    
 +
== '''Ознака паралельності прямої і площини'''
 +
==
  
 
   Теорема 1. Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині.
 
   Теорема 1. Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині.
 
   Теорема 2. Якщо пряма паралельна площині, то на цій площині знайдеться пряма, яка паралельна даній прямій.
 
   Теорема 2. Якщо пряма паралельна площині, то на цій площині знайдеться пряма, яка паралельна даній прямій.
    
+
   '''Зверніть увагу:''' паралельність прямої і площини не означає, що ця пряма паралельна будь-якій прямій на цій площині. Кожна пряма цієї площини буде або паралельна даній, або мимобіжна з нею.
== '''Зверніть увагу:''' паралельність прямої і площини не означає, що ця пряма паралельна будь-якій прямій на цій площині. Кожна пряма цієї площини буде або паралельна даній, або мимобіжна з нею.
 
 
[[Файл:444.jpeg]]
 
[[Файл:444.jpeg]]
==
 
  
 
   На рисунку: [[Файл:sprav-ukr4676_fmt.jpeg]];[[Файл:sprav-ukr4677_fmt.jpeg]] ;[[Файл:Sprav-ukr4678_fmt.jpeg]] ; a і b — мимобіжні;[[Файл:Sprav-ukr4679_fmt.jpeg]] .
 
   На рисунку: [[Файл:sprav-ukr4676_fmt.jpeg]];[[Файл:sprav-ukr4677_fmt.jpeg]] ;[[Файл:Sprav-ukr4678_fmt.jpeg]] ; a і b — мимобіжні;[[Файл:Sprav-ukr4679_fmt.jpeg]] .
Рядок 49: Рядок 43:
 
   Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються. 
 
   Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються. 
  
                                      '''Ознака паралельності площин'''
+
                               
 +
==      '''Ознака паралельності площин''' ==
 +
 
  
 
   Теорема 1. Якщо дві прямі однієї площини, які перетинаються й відповідно паралельні двом прямим другої площини (див. рисунок), то ці площини паралельні.
 
   Теорема 1. Якщо дві прямі однієї площини, які перетинаються й відповідно паралельні двом прямим другої площини (див. рисунок), то ці площини паралельні.
Рядок 56: Рядок 52:
 
   Теорема 2 (обернена). Якщо в одній площині є дві прямі, які перетинаються, і ці прямі паралельні другій площині, то такі площини паралельні.
 
   Теорема 2 (обернена). Якщо в одній площині є дві прямі, які перетинаються, і ці прямі паралельні другій площині, то такі площини паралельні.
  
   '
+
   '''Зверніть увагу''': прямі мають обов’язково перетинатися. Дійсно, в площині може бути скільки завгодно прямих, паралельних прямій a (див. рисунок нижче), а значить, і площині , і при цьому площини і не будуть паралельними.
== ''Зверніть увагу''': прямі мають обов’язково перетинатися. Дійсно, в площині може бути скільки завгодно прямих, паралельних прямій a (див. рисунок нижче), а значить, і площині , і при цьому площини і не будуть паралельними. ==
 
 
 
 
[[Файл:Image8756image_252_fmt.jpeg]]
 
[[Файл:Image8756image_252_fmt.jpeg]]
  

Версія за 13:46, 13 грудня 2011

                       Геометрія. 10 клас. Паралельність прямих і площин у просторі


Паралельність прямих і площини

  Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині й не перетинаються. Прямі, які не лежать в одній площині, називаються мимобіж­ними.
  Зверніть увагу: «не лежать в одній площині» і «лежать у різних площинах» — це різні твердження. Наприклад, паралельні прямі a і b лежать у різних площинах і (див. рисунок), але через них можна провести площину, яка міститиме a і b водночас.

Image8756image 167 fmt.jpeg

  Для мимобіжних прямих (див. рисунок) не існує такої площини, у якій вони лежали б водночас.
  1.jpeg
  Можна довести, що всі прямі, які перетинають дві паралельні прямі, лежать в одній площині.
  Теорема. Через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і тільки одну. 


Ознака паралельності прямих

  Теорема. Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою.

Із цієї теореми випливає, що середини сторін просторового чотирикутника (див. рисунок) є вершинами паралелограма (вершини просторового чотирикутника не лежать в одній площині). 2.jpeg

  Зверніть увагу: якщо ABCD — просторовий чотирикутник, то його діагоналі AC і BD — мимобіжні прямі.

                                 

== Ознака паралельності прямої і площини

==
  Теорема 1. Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині.
  Теорема 2. Якщо пряма паралельна площині, то на цій площині знайдеться пряма, яка паралельна даній прямій.
  Зверніть увагу: паралельність прямої і площини не означає, що ця пряма паралельна будь-якій прямій на цій площині. Кожна пряма цієї площини буде або паралельна даній, або мимобіжна з нею.

444.jpeg

  На рисунку: Sprav-ukr4676 fmt.jpeg;Sprav-ukr4677 fmt.jpeg ;Sprav-ukr4678 fmt.jpeg ; a і b — мимобіжні;Sprav-ukr4679 fmt.jpeg .
  Теорема 3. Через точку, що не лежить на площині, можна провести безліч прямих, паралельних даній площині, причому всі вони лежать в одній площині (паралельній даній).
  Теорема 4. Якщо площина перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає й другу пряму (див. рисунок).

На рисунку Sprav-ukr4680 fmt.jpeg. Image8756image 168 fmt.jpeg


  Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються. 


Ознака паралельності площин

  Теорема 1. Якщо дві прямі однієї площини, які перетинаються й відповідно паралельні двом прямим другої площини (див. рисунок), то ці площини паралельні.

Image8756image 79 fmt.jpeg

  Теорема 2 (обернена). Якщо в одній площині є дві прямі, які перетинаються, і ці прямі паралельні другій площині, то такі площини паралельні.
  Зверніть увагу: прямі мають обов’язково перетинатися. Дійсно, в площині може бути скільки завгодно прямих, паралельних прямій a (див. рисунок нижче), а значить, і площині , і при цьому площини і не будуть паралельними.

Image8756image 252 fmt.jpeg

  Теорема 3. Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних площин, то вона перетинає й другу (див. рисунок).

Image8756image 80 fmt.jpeg

  Теорема 4. Через дві мимобіжні прямі можна провести паралельні площини (рисунок нижче ­зліва).
  Теорема 5. Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну (рисунки нижче).

Image8756image 169 fmt.jpeg

  Теорема 6. Якщо дві площини паралельні третій, то вони паралельні одна одній.