Відмінності між версіями «Геометрія. 10 клас. Паралельність прямих і площин у просторі»

Матеріал з Фізмат Вікіпедії
Перейти до: навігація, пошук
 
(Не показані 13 проміжних версій 2 користувачів)
Рядок 1: Рядок 1:
                        '''Геометрія. 10 клас. Паралельність прямих і площин у просторі'''
+
'''Геометрія. 10 клас. Паралельність прямих і площин у просторі'''
  
  Зміст
+
1.Паралельність прямих і площини.
+
                               
2.Ознака паралельності прямих.
+
== '''Паралельність прямих і площини''' ==
3.Ознака паралельності прямої і площини.
 
4.Ознака паралельності площин.
 
  
  
                                  '''Паралельність прямих і площини'''
+
Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині й не перетинаються. Прямі, які не лежать в одній площині, називаються мимобіж­ними.
 
+
'''Зверніть увагу:''' «не лежать в одній площині» і «лежать у різних площинах» — це різні твердження. Наприклад, паралельні прямі a і b лежать у різних площинах і (див. рисунок), але через них можна провести площину, яка міститиме a і b водночас.
  Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині й не перетинаються. Прямі, які не лежать в одній площині, називаються мимобіж­ними.
 
 
 
==  '''Зверніть увагу:''' «не лежать в одній площині» і «лежать у різних площинах» — це ==
 
різні твердження. Наприклад, паралельні прямі a і b лежать у різних площинах і (див. рисунок), але через них можна провести площину, яка міститиме a і b водночас.
 
 
[[Файл:image8756image_167_fmt.jpeg]]
 
[[Файл:image8756image_167_fmt.jpeg]]
  Для мимобіжних прямих (див. рисунок) не існує такої площини, у якій вони лежали б водночас.
 
  [[Файл:1.jpeg]]
 
 
  Можна довести, що всі прямі, які перетинають дві паралельні прямі, лежать в одній площині.
 
  Теорема. Через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і тільки одну. 
 
 
                                    '''Ознака паралельності прямих'''
 
  
  Теорема. Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою.
+
Для мимобіжних прямих (див. рисунок) не існує такої площини, у якій вони лежали б водночас.
 +
[[Файл:1.jpeg]]
  
== Із цієї теореми випливає, що середини сторін просторового чотирикутника (див. рисунок) є вершинами паралелограма (вершини просторового чотирикутника не лежать в одній площині). ==
+
Можна довести, що всі прямі, які перетинають дві паралельні прямі, лежать в одній площині.
 +
Теорема. Через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і тільки одну. 
  
 +
== '''Ознака паралельності прямих''' ==
 +
Теорема. Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою.
 +
Із цієї теореми випливає, що середини сторін просторового чотирикутника (див. рисунок) є вершинами паралелограма (вершини просторового чотирикутника не лежать в одній площині).
 
[[Файл:2.jpeg]]
 
[[Файл:2.jpeg]]
  
  '''Зверніть увагу:''' якщо ABCD — просторовий чотирикутник, то його діагоналі AC і BD — мимобіжні прямі.
+
'''Зверніть увагу:''' якщо ABCD — просторовий чотирикутник, то його діагоналі AC і BD — мимобіжні прямі.
  
+
   
                                  '''Ознака паралельності прямої і площини'''
+
=='''Ознака паралельності прямої і площини'''==
  
  Теорема 1. Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині.
+
Теорема 1. Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині.
  Теорема 2. Якщо пряма паралельна площині, то на цій площині знайдеться пряма, яка паралельна даній прямій.
+
Теорема 2. Якщо пряма паралельна площині, то на цій площині знайдеться пряма, яка паралельна даній прямій.
 
+
'''Зверніть увагу:''' паралельність прямої і площини не означає, що ця пряма паралельна будь-якій прямій на цій площині. Кожна пряма цієї площини буде або паралельна даній, або мимобіжна з нею.
== '''Зверніть увагу:''' паралельність прямої і площини не означає, що ця пряма паралельна будь-якій прямій на цій площині. Кожна пряма цієї площини буде або паралельна даній, або мимобіжна з нею.
 
 
[[Файл:444.jpeg]]
 
[[Файл:444.jpeg]]
==
 
  
  На рисунку: [[Файл:sprav-ukr4676_fmt.jpeg]];[[Файл:sprav-ukr4677_fmt.jpeg]] ;[[Файл:Sprav-ukr4678_fmt.jpeg]] ; a і b — мимобіжні;[[Файл:Sprav-ukr4679_fmt.jpeg]] .
+
На рисунку: [[Файл:sprav-ukr4676_fmt.jpeg]];[[Файл:sprav-ukr4677_fmt.jpeg]] ;[[Файл:Sprav-ukr4678_fmt.jpeg]] ; a і b — мимобіжні;[[Файл:Sprav-ukr4679_fmt.jpeg]] .
  Теорема 3. Через точку, що не лежить на площині, можна провести безліч прямих, паралельних даній площині, причому всі вони лежать в одній площині (паралельній даній).
+
Теорема 3. Через точку, що не лежить на площині, можна провести безліч прямих, паралельних даній площині, причому всі вони лежать в одній площині (паралельній даній).
  Теорема 4. Якщо площина перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає й другу пряму (див. рисунок).
+
Теорема 4. Якщо площина перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає й другу пряму (див. рисунок).
 
На рисунку [[Файл:Sprav-ukr4680_fmt.jpeg]].
 
На рисунку [[Файл:Sprav-ukr4680_fmt.jpeg]].
 
[[Файл:Image8756image 168 fmt.jpeg ]]
 
[[Файл:Image8756image 168 fmt.jpeg ]]
  
  
  Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються. 
+
Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються. 
 +
 
 +
                               
 +
 
 +
== '''Ознака паралельності площин''' ==
 +
 
 +
 
  
                                      '''Ознака паралельності площин'''
 
  
  Теорема 1. Якщо дві прямі однієї площини, які перетинаються й відповідно паралельні двом прямим другої площини (див. рисунок), то ці площини паралельні.
+
Теорема 1. Якщо дві прямі однієї площини, які перетинаються й відповідно паралельні двом прямим другої площини (див. рисунок), то ці площини паралельні.
 
[[Файл:Image8756image_79_fmt.jpeg]]
 
[[Файл:Image8756image_79_fmt.jpeg]]
  
  Теорема 2 (обернена). Якщо в одній площині є дві прямі, які перетинаються, і ці прямі паралельні другій площині, то такі площини паралельні.
+
Теорема 2 (обернена). Якщо в одній площині є дві прямі, які перетинаються, і ці прямі паралельні другій площині, то такі площини паралельні.
 
 
  '
 
== ''Зверніть увагу''': прямі мають обов’язково перетинатися. Дійсно, в площині може бути скільки завгодно прямих, паралельних прямій a (див. рисунок нижче), а значить, і площині , і при цьому площини і не будуть паралельними. ==
 
  
 +
'''Зверніть увагу''': прямі мають обов’язково перетинатися. Дійсно, в площині може бути скільки завгодно прямих, паралельних прямій a (див. рисунок нижче), а значить, і площині , і при цьому площини і не будуть паралельними.
 
[[Файл:Image8756image_252_fmt.jpeg]]
 
[[Файл:Image8756image_252_fmt.jpeg]]
  
  Теорема 3. Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних площин, то вона перетинає й другу (див. рисунок).
+
Теорема 3. Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних площин, то вона перетинає й другу (див. рисунок).
 
[[Файл:Image8756image_80_fmt.jpeg]]
 
[[Файл:Image8756image_80_fmt.jpeg]]
  Теорема 4. Через дві мимобіжні прямі можна провести паралельні площини (рисунок нижче ­зліва).
+
 
  Теорема 5. Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну (рисунки нижче).
+
Теорема 4. Через дві мимобіжні прямі можна провести паралельні площини (рисунок нижче ­зліва).
 +
 
 +
Теорема 5. Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну (рисунки).
 
[[Файл:Image8756image 169 fmt.jpeg]]
 
[[Файл:Image8756image 169 fmt.jpeg]]
  Теорема 6. Якщо дві площини паралельні третій, то вони паралельні одна одній.
+
 
 +
Теорема 6. Якщо дві площини паралельні третій, то вони паралельні одна одній.
 +
 
 +
== '''Джерела інформації''' ==
 +
1.http://subject.com.ua/dovidnik/geometr/72.html.
 +
2.http://www.parta.com.ua/ukr/school_program/view/535/.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
[[Категорія:Довідник математика|Геометрія. 10 клас. Паралельність прямих і площин у просторі]]
 +
[[Категорія:Он-лайн енциклопедія|Геометрія. 10 клас. Паралельність прямих і площин у просторі]]
 +
[[Категорія:Он-лайн Довідник|Геометрія. 10 клас. Паралельність прямих і площин у просторі]]

Поточна версія на 10:34, 14 грудня 2011

Геометрія. 10 клас. Паралельність прямих і площин у просторі


Паралельність прямих і площини

Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині й не перетинаються. Прямі, які не лежать в одній площині, називаються мимобіж­ними. Зверніть увагу: «не лежать в одній площині» і «лежать у різних площинах» — це різні твердження. Наприклад, паралельні прямі a і b лежать у різних площинах і (див. рисунок), але через них можна провести площину, яка міститиме a і b водночас. Image8756image 167 fmt.jpeg

Для мимобіжних прямих (див. рисунок) не існує такої площини, у якій вони лежали б водночас. 1.jpeg

Можна довести, що всі прямі, які перетинають дві паралельні прямі, лежать в одній площині. Теорема. Через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і тільки одну. 

Ознака паралельності прямих

Теорема. Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою. Із цієї теореми випливає, що середини сторін просторового чотирикутника (див. рисунок) є вершинами паралелограма (вершини просторового чотирикутника не лежать в одній площині). 2.jpeg

Зверніть увагу: якщо ABCD — просторовий чотирикутник, то його діагоналі AC і BD — мимобіжні прямі.

Ознака паралельності прямої і площини

Теорема 1. Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині. Теорема 2. Якщо пряма паралельна площині, то на цій площині знайдеться пряма, яка паралельна даній прямій. Зверніть увагу: паралельність прямої і площини не означає, що ця пряма паралельна будь-якій прямій на цій площині. Кожна пряма цієї площини буде або паралельна даній, або мимобіжна з нею. 444.jpeg

На рисунку: Sprav-ukr4676 fmt.jpeg;Sprav-ukr4677 fmt.jpeg ;Sprav-ukr4678 fmt.jpeg ; a і b — мимобіжні;Sprav-ukr4679 fmt.jpeg . Теорема 3. Через точку, що не лежить на площині, можна провести безліч прямих, паралельних даній площині, причому всі вони лежать в одній площині (паралельній даній). Теорема 4. Якщо площина перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає й другу пряму (див. рисунок). На рисунку Sprav-ukr4680 fmt.jpeg. Image8756image 168 fmt.jpeg


Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються. 


Ознака паралельності площин

Теорема 1. Якщо дві прямі однієї площини, які перетинаються й відповідно паралельні двом прямим другої площини (див. рисунок), то ці площини паралельні. Image8756image 79 fmt.jpeg

Теорема 2 (обернена). Якщо в одній площині є дві прямі, які перетинаються, і ці прямі паралельні другій площині, то такі площини паралельні.

Зверніть увагу: прямі мають обов’язково перетинатися. Дійсно, в площині може бути скільки завгодно прямих, паралельних прямій a (див. рисунок нижче), а значить, і площині , і при цьому площини і не будуть паралельними. Image8756image 252 fmt.jpeg

Теорема 3. Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних площин, то вона перетинає й другу (див. рисунок). Image8756image 80 fmt.jpeg

Теорема 4. Через дві мимобіжні прямі можна провести паралельні площини (рисунок нижче ­зліва).

Теорема 5. Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну (рисунки). Image8756image 169 fmt.jpeg

Теорема 6. Якщо дві площини паралельні третій, то вони паралельні одна одній.

Джерела інформації

1.http://subject.com.ua/dovidnik/geometr/72.html.
2.http://www.parta.com.ua/ukr/school_program/view/535/.