Відмінності між версіями «Геометрія. 10 клас. Паралельність прямих і площин у просторі»

Матеріал з Фізмат Вікіпедії
Перейти до: навігація, пошук
 
(Не показані 11 проміжних версій 2 користувачів)
Рядок 1: Рядок 1:
                        '''Геометрія. 10 клас. Паралельність прямих і площин у просторі'''
+
'''Геометрія. 10 клас. Паралельність прямих і площин у просторі'''
  
 
   
 
   
 
                                  
 
                                  
 +
== '''Паралельність прямих і площини''' ==
  
== ==  '''Паралельність прямих і площини''' == ==
 
  
 
+
Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині й не перетинаються. Прямі, які не лежать в одній площині, називаються мимобіж­ними.
 
+
'''Зверніть увагу:''' «не лежать в одній площині» і «лежать у різних площинах» — це різні твердження. Наприклад, паралельні прямі a і b лежать у різних площинах і (див. рисунок), але через них можна провести площину, яка міститиме a і b водночас.
  Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині й не перетинаються. Прямі, які не лежать в одній площині, називаються мимобіж­ними.
 
  '''Зверніть увагу:''' «не лежать в одній площині» і «лежать у різних площинах» — це різні твердження. Наприклад, паралельні прямі a і b лежать у різних площинах і (див. рисунок), але через них можна провести площину, яка міститиме a і b водночас.
 
 
[[Файл:image8756image_167_fmt.jpeg]]
 
[[Файл:image8756image_167_fmt.jpeg]]
  Для мимобіжних прямих (див. рисунок) не існує такої площини, у якій вони лежали б водночас.
 
  [[Файл:1.jpeg]]
 
 
  Можна довести, що всі прямі, які перетинають дві паралельні прямі, лежать в одній площині.
 
  Теорема. Через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і тільки одну. 
 
 
                                   
 
 
== == '''Ознака паралельності прямих''' == ==
 
  
 +
Для мимобіжних прямих (див. рисунок) не існує такої площини, у якій вони лежали б водночас.
 +
[[Файл:1.jpeg]]
  
 +
Можна довести, що всі прямі, які перетинають дві паралельні прямі, лежать в одній площині.
 +
Теорема. Через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і тільки одну. 
  
  Теорема. Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою.
+
== '''Ознака паралельності прямих''' ==
 +
Теорема. Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою.
 
Із цієї теореми випливає, що середини сторін просторового чотирикутника (див. рисунок) є вершинами паралелограма (вершини просторового чотирикутника не лежать в одній площині).
 
Із цієї теореми випливає, що середини сторін просторового чотирикутника (див. рисунок) є вершинами паралелограма (вершини просторового чотирикутника не лежать в одній площині).
 
[[Файл:2.jpeg]]
 
[[Файл:2.jpeg]]
  
  '''Зверніть увагу:''' якщо ABCD — просторовий чотирикутник, то його діагоналі AC і BD — мимобіжні прямі.
+
'''Зверніть увагу:''' якщо ABCD — просторовий чотирикутник, то його діагоналі AC і BD — мимобіжні прямі.
  
+
   
                                 
+
=='''Ознака паралельності прямої і площини'''==
 
 
== == '''Ознака паралельності прямої і площини'''
 
== ==
 
  
 
+
Теорема 1. Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині.
  Теорема 1. Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині.
+
Теорема 2. Якщо пряма паралельна площині, то на цій площині знайдеться пряма, яка паралельна даній прямій.
  Теорема 2. Якщо пряма паралельна площині, то на цій площині знайдеться пряма, яка паралельна даній прямій.
+
'''Зверніть увагу:''' паралельність прямої і площини не означає, що ця пряма паралельна будь-якій прямій на цій площині. Кожна пряма цієї площини буде або паралельна даній, або мимобіжна з нею.
  '''Зверніть увагу:''' паралельність прямої і площини не означає, що ця пряма паралельна будь-якій прямій на цій площині. Кожна пряма цієї площини буде або паралельна даній, або мимобіжна з нею.
 
 
[[Файл:444.jpeg]]
 
[[Файл:444.jpeg]]
  
  На рисунку: [[Файл:sprav-ukr4676_fmt.jpeg]];[[Файл:sprav-ukr4677_fmt.jpeg]] ;[[Файл:Sprav-ukr4678_fmt.jpeg]] ; a і b — мимобіжні;[[Файл:Sprav-ukr4679_fmt.jpeg]] .
+
На рисунку: [[Файл:sprav-ukr4676_fmt.jpeg]];[[Файл:sprav-ukr4677_fmt.jpeg]] ;[[Файл:Sprav-ukr4678_fmt.jpeg]] ; a і b — мимобіжні;[[Файл:Sprav-ukr4679_fmt.jpeg]] .
  Теорема 3. Через точку, що не лежить на площині, можна провести безліч прямих, паралельних даній площині, причому всі вони лежать в одній площині (паралельній даній).
+
Теорема 3. Через точку, що не лежить на площині, можна провести безліч прямих, паралельних даній площині, причому всі вони лежать в одній площині (паралельній даній).
  Теорема 4. Якщо площина перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає й другу пряму (див. рисунок).
+
Теорема 4. Якщо площина перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає й другу пряму (див. рисунок).
 
На рисунку [[Файл:Sprav-ukr4680_fmt.jpeg]].
 
На рисунку [[Файл:Sprav-ukr4680_fmt.jpeg]].
 
[[Файл:Image8756image 168 fmt.jpeg ]]
 
[[Файл:Image8756image 168 fmt.jpeg ]]
  
  
  Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються. 
+
Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються. 
  
 
                                  
 
                                  
  
== ==      '''Ознака паралельності площин''' == ==
+
== '''Ознака паралельності площин''' ==
  
  
  
  Теорема 1. Якщо дві прямі однієї площини, які перетинаються й відповідно паралельні двом прямим другої площини (див. рисунок), то ці площини паралельні.
+
 
 +
Теорема 1. Якщо дві прямі однієї площини, які перетинаються й відповідно паралельні двом прямим другої площини (див. рисунок), то ці площини паралельні.
 
[[Файл:Image8756image_79_fmt.jpeg]]
 
[[Файл:Image8756image_79_fmt.jpeg]]
  
  Теорема 2 (обернена). Якщо в одній площині є дві прямі, які перетинаються, і ці прямі паралельні другій площині, то такі площини паралельні.
+
Теорема 2 (обернена). Якщо в одній площині є дві прямі, які перетинаються, і ці прямі паралельні другій площині, то такі площини паралельні.
  
  '''Зверніть увагу''': прямі мають обов’язково перетинатися. Дійсно, в площині може бути скільки завгодно прямих, паралельних прямій a (див. рисунок нижче), а значить, і площині , і при цьому площини і не будуть паралельними.
+
'''Зверніть увагу''': прямі мають обов’язково перетинатися. Дійсно, в площині може бути скільки завгодно прямих, паралельних прямій a (див. рисунок нижче), а значить, і площині , і при цьому площини і не будуть паралельними.
 
[[Файл:Image8756image_252_fmt.jpeg]]
 
[[Файл:Image8756image_252_fmt.jpeg]]
  
  Теорема 3. Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних площин, то вона перетинає й другу (див. рисунок).
+
Теорема 3. Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних площин, то вона перетинає й другу (див. рисунок).
 
[[Файл:Image8756image_80_fmt.jpeg]]
 
[[Файл:Image8756image_80_fmt.jpeg]]
  Теорема 4. Через дві мимобіжні прямі можна провести паралельні площини (рисунок нижче ­зліва).
+
 
  Теорема 5. Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну (рисунки нижче).
+
Теорема 4. Через дві мимобіжні прямі можна провести паралельні площини (рисунок нижче ­зліва).
 +
 
 +
Теорема 5. Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну (рисунки).
 
[[Файл:Image8756image 169 fmt.jpeg]]
 
[[Файл:Image8756image 169 fmt.jpeg]]
  Теорема 6. Якщо дві площини паралельні третій, то вони паралельні одна одній.
+
 
 +
Теорема 6. Якщо дві площини паралельні третій, то вони паралельні одна одній.
 +
 
 +
== '''Джерела інформації''' ==
 +
1.http://subject.com.ua/dovidnik/geometr/72.html.
 +
2.http://www.parta.com.ua/ukr/school_program/view/535/.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
[[Категорія:Довідник математика|Геометрія. 10 клас. Паралельність прямих і площин у просторі]]
 +
[[Категорія:Он-лайн енциклопедія|Геометрія. 10 клас. Паралельність прямих і площин у просторі]]
 +
[[Категорія:Он-лайн Довідник|Геометрія. 10 клас. Паралельність прямих і площин у просторі]]

Поточна версія на 10:34, 14 грудня 2011

Геометрія. 10 клас. Паралельність прямих і площин у просторі


Паралельність прямих і площини

Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині й не перетинаються. Прямі, які не лежать в одній площині, називаються мимобіж­ними. Зверніть увагу: «не лежать в одній площині» і «лежать у різних площинах» — це різні твердження. Наприклад, паралельні прямі a і b лежать у різних площинах і (див. рисунок), але через них можна провести площину, яка міститиме a і b водночас. Image8756image 167 fmt.jpeg

Для мимобіжних прямих (див. рисунок) не існує такої площини, у якій вони лежали б водночас. 1.jpeg

Можна довести, що всі прямі, які перетинають дві паралельні прямі, лежать в одній площині. Теорема. Через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і тільки одну. 

Ознака паралельності прямих

Теорема. Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою. Із цієї теореми випливає, що середини сторін просторового чотирикутника (див. рисунок) є вершинами паралелограма (вершини просторового чотирикутника не лежать в одній площині). 2.jpeg

Зверніть увагу: якщо ABCD — просторовий чотирикутник, то його діагоналі AC і BD — мимобіжні прямі.

Ознака паралельності прямої і площини

Теорема 1. Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині. Теорема 2. Якщо пряма паралельна площині, то на цій площині знайдеться пряма, яка паралельна даній прямій. Зверніть увагу: паралельність прямої і площини не означає, що ця пряма паралельна будь-якій прямій на цій площині. Кожна пряма цієї площини буде або паралельна даній, або мимобіжна з нею. 444.jpeg

На рисунку: Sprav-ukr4676 fmt.jpeg;Sprav-ukr4677 fmt.jpeg ;Sprav-ukr4678 fmt.jpeg ; a і b — мимобіжні;Sprav-ukr4679 fmt.jpeg . Теорема 3. Через точку, що не лежить на площині, можна провести безліч прямих, паралельних даній площині, причому всі вони лежать в одній площині (паралельній даній). Теорема 4. Якщо площина перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає й другу пряму (див. рисунок). На рисунку Sprav-ukr4680 fmt.jpeg. Image8756image 168 fmt.jpeg


Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються. 


Ознака паралельності площин

Теорема 1. Якщо дві прямі однієї площини, які перетинаються й відповідно паралельні двом прямим другої площини (див. рисунок), то ці площини паралельні. Image8756image 79 fmt.jpeg

Теорема 2 (обернена). Якщо в одній площині є дві прямі, які перетинаються, і ці прямі паралельні другій площині, то такі площини паралельні.

Зверніть увагу: прямі мають обов’язково перетинатися. Дійсно, в площині може бути скільки завгодно прямих, паралельних прямій a (див. рисунок нижче), а значить, і площині , і при цьому площини і не будуть паралельними. Image8756image 252 fmt.jpeg

Теорема 3. Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних площин, то вона перетинає й другу (див. рисунок). Image8756image 80 fmt.jpeg

Теорема 4. Через дві мимобіжні прямі можна провести паралельні площини (рисунок нижче ­зліва).

Теорема 5. Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну (рисунки). Image8756image 169 fmt.jpeg

Теорема 6. Якщо дві площини паралельні третій, то вони паралельні одна одній.

Джерела інформації

1.http://subject.com.ua/dovidnik/geometr/72.html.
2.http://www.parta.com.ua/ukr/school_program/view/535/.