Геометрія. 10 клас. Паралельність прямих і площин у просторі

Матеріал з Фізмат Вікіпедії
Перейти до: навігація, пошук
                       Геометрія. 10 клас. Паралельність прямих і площин у просторі



== Паралельність прямих і площини ==

  Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині й не перетинаються. Прямі, які не лежать в одній площині, називаються мимобіж­ними.
  Зверніть увагу: «не лежать в одній площині» і «лежать у різних площинах» — це різні твердження. Наприклад, паралельні прямі a і b лежать у різних площинах і (див. рисунок), але через них можна провести площину, яка міститиме a і b водночас.

Image8756image 167 fmt.jpeg

  Для мимобіжних прямих (див. рисунок) не існує такої площини, у якій вони лежали б водночас.
  1.jpeg
  Можна довести, що всі прямі, які перетинають дві паралельні прямі, лежать в одній площині.
  Теорема. Через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і тільки одну. 


== Ознака паралельності прямих ==

  Теорема. Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою.

Із цієї теореми випливає, що середини сторін просторового чотирикутника (див. рисунок) є вершинами паралелограма (вершини просторового чотирикутника не лежать в одній площині). 2.jpeg

  Зверніть увагу: якщо ABCD — просторовий чотирикутник, то його діагоналі AC і BD — мимобіжні прямі.

                                 

== == Ознака паралельності прямої і площини

== ==


  Теорема 1. Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині.
  Теорема 2. Якщо пряма паралельна площині, то на цій площині знайдеться пряма, яка паралельна даній прямій.
  Зверніть увагу: паралельність прямої і площини не означає, що ця пряма паралельна будь-якій прямій на цій площині. Кожна пряма цієї площини буде або паралельна даній, або мимобіжна з нею.

444.jpeg

  На рисунку: Sprav-ukr4676 fmt.jpeg;Sprav-ukr4677 fmt.jpeg ;Sprav-ukr4678 fmt.jpeg ; a і b — мимобіжні;Sprav-ukr4679 fmt.jpeg .
  Теорема 3. Через точку, що не лежить на площині, можна провести безліч прямих, паралельних даній площині, причому всі вони лежать в одній площині (паралельній даній).
  Теорема 4. Якщо площина перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає й другу пряму (див. рисунок).

На рисунку Sprav-ukr4680 fmt.jpeg. Image8756image 168 fmt.jpeg


  Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються. 


== Ознака паралельності площин ==

  Теорема 1. Якщо дві прямі однієї площини, які перетинаються й відповідно паралельні двом прямим другої площини (див. рисунок), то ці площини паралельні.

Image8756image 79 fmt.jpeg

  Теорема 2 (обернена). Якщо в одній площині є дві прямі, які перетинаються, і ці прямі паралельні другій площині, то такі площини паралельні.
  Зверніть увагу: прямі мають обов’язково перетинатися. Дійсно, в площині може бути скільки завгодно прямих, паралельних прямій a (див. рисунок нижче), а значить, і площині , і при цьому площини і не будуть паралельними.

Image8756image 252 fmt.jpeg

  Теорема 3. Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних площин, то вона перетинає й другу (див. рисунок).

Image8756image 80 fmt.jpeg

  Теорема 4. Через дві мимобіжні прямі можна провести паралельні площини (рисунок нижче ­зліва).
  Теорема 5. Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну (рисунки нижче).

Image8756image 169 fmt.jpeg

  Теорема 6. Якщо дві площини паралельні третій, то вони паралельні одна одній.