Геометрія. 10 клас. Паралельність прямих і площин у просторі

Матеріал з Фізмат Вікіпедії
Версія від 10:34, 14 грудня 2011, створена Martynyshyn vo (обговореннявнесок)
(різн.) ← Попередня версія • Поточна версія (різн.) • Новіша версія → (різн.)
Перейти до: навігація, пошук

Геометрія. 10 клас. Паралельність прямих і площин у просторі


Паралельність прямих і площини

Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині й не перетинаються. Прямі, які не лежать в одній площині, називаються мимобіж­ними. Зверніть увагу: «не лежать в одній площині» і «лежать у різних площинах» — це різні твердження. Наприклад, паралельні прямі a і b лежать у різних площинах і (див. рисунок), але через них можна провести площину, яка міститиме a і b водночас. Image8756image 167 fmt.jpeg

Для мимобіжних прямих (див. рисунок) не існує такої площини, у якій вони лежали б водночас. 1.jpeg

Можна довести, що всі прямі, які перетинають дві паралельні прямі, лежать в одній площині. Теорема. Через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і тільки одну. 

Ознака паралельності прямих

Теорема. Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою. Із цієї теореми випливає, що середини сторін просторового чотирикутника (див. рисунок) є вершинами паралелограма (вершини просторового чотирикутника не лежать в одній площині). 2.jpeg

Зверніть увагу: якщо ABCD — просторовий чотирикутник, то його діагоналі AC і BD — мимобіжні прямі.

Ознака паралельності прямої і площини

Теорема 1. Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині. Теорема 2. Якщо пряма паралельна площині, то на цій площині знайдеться пряма, яка паралельна даній прямій. Зверніть увагу: паралельність прямої і площини не означає, що ця пряма паралельна будь-якій прямій на цій площині. Кожна пряма цієї площини буде або паралельна даній, або мимобіжна з нею. 444.jpeg

На рисунку: Sprav-ukr4676 fmt.jpeg;Sprav-ukr4677 fmt.jpeg ;Sprav-ukr4678 fmt.jpeg ; a і b — мимобіжні;Sprav-ukr4679 fmt.jpeg . Теорема 3. Через точку, що не лежить на площині, можна провести безліч прямих, паралельних даній площині, причому всі вони лежать в одній площині (паралельній даній). Теорема 4. Якщо площина перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає й другу пряму (див. рисунок). На рисунку Sprav-ukr4680 fmt.jpeg. Image8756image 168 fmt.jpeg


Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються. 


Ознака паралельності площин

Теорема 1. Якщо дві прямі однієї площини, які перетинаються й відповідно паралельні двом прямим другої площини (див. рисунок), то ці площини паралельні. Image8756image 79 fmt.jpeg

Теорема 2 (обернена). Якщо в одній площині є дві прямі, які перетинаються, і ці прямі паралельні другій площині, то такі площини паралельні.

Зверніть увагу: прямі мають обов’язково перетинатися. Дійсно, в площині може бути скільки завгодно прямих, паралельних прямій a (див. рисунок нижче), а значить, і площині , і при цьому площини і не будуть паралельними. Image8756image 252 fmt.jpeg

Теорема 3. Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних площин, то вона перетинає й другу (див. рисунок). Image8756image 80 fmt.jpeg

Теорема 4. Через дві мимобіжні прямі можна провести паралельні площини (рисунок нижче ­зліва).

Теорема 5. Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну (рисунки). Image8756image 169 fmt.jpeg

Теорема 6. Якщо дві площини паралельні третій, то вони паралельні одна одній.

Джерела інформації

1.http://subject.com.ua/dovidnik/geometr/72.html.
2.http://www.parta.com.ua/ukr/school_program/view/535/.