Геометрія. 10 клас. Паралельність прямих і площин у просторі
Геометрія. 10 клас. Паралельність прямих і площин у просторі
Зміст
Паралельність прямих і площини
Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині й не перетинаються. Прямі, які не лежать в одній площині, називаються мимобіжними.
Зверніть увагу: «не лежать в одній площині» і «лежать у різних площинах» — це різні твердження. Наприклад, паралельні прямі a і b лежать у різних площинах і (див. рисунок), але через них можна провести площину, яка міститиме a і b водночас.
Для мимобіжних прямих (див. рисунок) не існує такої площини, у якій вони лежали б водночас.
Можна довести, що всі прямі, які перетинають дві паралельні прямі, лежать в одній площині. Теорема. Через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і тільки одну.
Ознака паралельності прямих
Теорема. Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою.
Із цієї теореми випливає, що середини сторін просторового чотирикутника (див. рисунок) є вершинами паралелограма (вершини просторового чотирикутника не лежать в одній площині).
Зверніть увагу: якщо ABCD — просторовий чотирикутник, то його діагоналі AC і BD — мимобіжні прямі.
Ознака паралельності прямої і площини
Теорема 1. Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині.
Теорема 2. Якщо пряма паралельна площині, то на цій площині знайдеться пряма, яка паралельна даній прямій.
Зверніть увагу: паралельність прямої і площини не означає, що ця пряма паралельна будь-якій прямій на цій площині. Кожна пряма цієї площини буде або паралельна даній, або мимобіжна з нею.
На рисунку: 
;
;
; a і b — мимобіжні;
.
Теорема 3. Через точку, що не лежить на площині, можна провести безліч прямих, паралельних даній площині, причому всі вони лежать в одній площині (паралельній даній).
Теорема 4. Якщо площина перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає й другу пряму (див. рисунок).
На рисунку 
.
Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.
Ознака паралельності площин
Теорема 1. Якщо дві прямі однієї площини, які перетинаються й відповідно паралельні двом прямим другої площини (див. рисунок), то ці площини паралельні.
Теорема 2 (обернена). Якщо в одній площині є дві прямі, які перетинаються, і ці прямі паралельні другій площині, то такі площини паралельні.
Зверніть увагу: прямі мають обов’язково перетинатися. Дійсно, в площині може бути скільки завгодно прямих, паралельних прямій a (див. рисунок нижче), а значить, і площині , і при цьому площини і не будуть паралельними.
Теорема 3. Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних площин, то вона перетинає й другу (див. рисунок).
Теорема 4. Через дві мимобіжні прямі можна провести паралельні площини (рисунок нижче зліва).
Теорема 5. Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну (рисунки).
Теорема 6. Якщо дві площини паралельні третій, то вони паралельні одна одній.
Джерела інформації
1.http://subject.com.ua/dovidnik/geometr/72.html. 2.http://www.parta.com.ua/ukr/school_program/view/535/.
