Геометрія. 11клас. Многогранники.

Матеріал з Фізмат Вікіпедії
Версія від 01:22, 14 грудня 2011, створена Marynovska tm (обговореннявнесок) (Створена сторінка: Многогранники == Двогранний і лінійний кути == Двогран…)
(різн.) ← Попередня версія • Поточна версія (різн.) • Новіша версія → (різн.)
Перейти до: навігація, пошук
                                                       Многогранники


Двогранний і лінійний кути

Двогранним кутом називається фігура, утворена двома півплощинами зі спільною прямою, що їх обмежує, — ребром двогранного кута. Півплощини називаються гранями двогранного кута.
Площина, перпендикулярна до ребра двогранного кута, перетинає його грані по двох півпрямих. Кут, утворений такими півпрямими, називається лінійним кутом двогранного кута (див. рисунок). За міру двогранного кута приймається міра його лінійного кута.


                                                     Image8756image 101 fmt.jpeg


Міра двогранного кута не залежить від вибору лінійного кута.
Побудувати лінійний кут двогранного кута можна двома способами.
1. Обрати точку на ребрі кута й провести через цю точку перпендикуляри до ребра, що лежать у гранях кута (див. рисунок нижче зліва). Кут між цими перпендикулярами — лінійний кут даного двогранного кута.
2. Обрати точку на грані двогранного кута й опустити з неї перпендикуляри на ребро кута та на іншу грань двогранного кута (див. рисунок нижче справа). З’єднати основи цих перпендикулярів. Кут між цим відрізком і перпендикуляром, проведеним до ребра двогранного кута, буде лінійним кутом даного двогранного кута.


                                                     Image8756image 219 fmt.jpeg



Тригранний і многогранний кути

Нехай промені a, b, c виходять з однієї точки й не лежать в одній площині.
Тригранним кутом (авс) називається фігура, яка складається з трьох плоских кутів (ав),(вс),(ас) (див. рисунок). Ці кути називаються гранями тригранного кута, а їх сторони — ребрами. Спільна вершина плоских кутів називається вершиною тригранного кута. Двогранні кути, утворені гранями тригранного кута, називаються двогранними кутами тригранного кута. Аналогічно дають означення многогранного кута.
Теорема 1. У тригранному куті кожний плоский кут менший за суму двох інших. 
Теорема 2. Сума плоских кутів тригранного кута менша за Sprav-ukr4888 fmt.jpeg.



Многогранники

Многогранник — це таке тіло, поверхня якого складається із скінченної кількості плоских многокутників. Многогранник називається опуклим, якщо він лежить по один бік від площини кожного з плоских многокутників на його поверхні. Спільна частина такої площини й поверхні опуклого многокутника називається гранню.
На рисунку нижче зліва зображений неопуклий многогранник; на рисунку справа — опуклий.


                                                    Image8756image 180 fmt.jpeg


Грані опуклого многогранника є плоскими опуклими многокутниками. Сторони граней називаються ребрами многогранника, а вершини граней — вершинами многогранника.


Призма

Призмою називається многогранник, який складається з двох плоских многокутників, що лежать у різних площинах і суміщаються паралельним перенесенням, та всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих многокутників (див. рисунок). Многокутники називаються основами призми, а відрізки, які сполучають відповідні вершини, — бічними ребрами призми.


                                              Image8756image 103 fmt.jpeg


Позначення: Sprav-ukr4895 fmt.jpeg.
Бічна поверхня призми складається з паралелограмів. Кожний із них має дві сторони, які є відповідними сторонами основи, а дві інші — суміжними бічними ребрами. Основи призми рівні й лежать у паралельних площинах. Бічні ребра призми паралельні та рівні. Висотою призми називається відстань між площинами її основ.
Відрізок, який сполучає дві вершини призми, що не належать одній грані, називається діагоналлю призми. 

Діагональні перерізи — це перерізи призми площинами, що проходять через два бічних ребра, які не належать одній грані (див. рисунки).


                                               Image8756image 248 fmt.jpeg


Призма називається прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основ. У протилежному випадку призма називається похилою.
Бічні грані прямої призми — прямокутники, висота прямої призми дорівнює бічному ребру, діагональні перерізи є прямокут­никами.

Бічною поверхнею призми називається сума площ бічних граней. Повна поверхня призми дорівнює сумі бічної поверхні й площ основ.

Теорема 1. Бічна поверхня прямої призми дорівнює добутку периметра основи та висоти, тобто довжини бічного ребра.

Перпендикулярним перерізом призми будемо називати переріз площиною, перпендикулярною до бічного ребра призми (а це означає, що ця площина є перпендикулярною до всіх бічних ребер призми).

Теорема 2. Бічна поверхня похилої призми дорівнює добутку довжини бічного ребра і периметра перпендикулярного перерізу.
На рисунку Sprav-ukr4899 fmt.jpeg — перпендикулярний переріз.

Sб = H ? Pосн; Sп = Sб + 2Sосн. Sб = l ? Pпер; Sп = Sб + 2Sосн.


                                          Image8756image 104 fmt.jpeg


Очевидно, що ця теорема є правильною й у випадку прямої призми, бо тоді перпендикулярний переріз буде перерізом площиною, паралельною площинам основ призми.
Зверніть увагу: якщо деякий многокутник є перпендикулярним перерізом призми, то його внутрішні кути є лінійними кутами двогранних кутів між відповідними бічними гранями.
У випадку прямої призми лінійними кутами двогранних кутів між бічними гранями є безпосередньо кути основи.

Приклад На рисунку Sprav-ukr4904 fmt.jpeg — пряма призма.

Sprav-ukr4909 fmt.jpeg— лінійний кут двогранного кута між гранями Sprav-ukr4910 fmt.jpeg і Sprav-ukr4911 fmt.jpeg.
Призма називається правильною, якщо:
• в основі її лежить правильний многокутник;
• призма є прямою.


Паралелепіпед

Паралелепіпедом називається призма, в основі якої лежить паралелограм.
Усі грані паралелепіпеда — паралелограми.
Грані паралелепіпеда, які не мають спільних вершин, називаються протилежними.


                                   Image8756image 105 fmt.jpeg


Теорема 1. Протилежні грані паралелепіпеда є паралельними й рівними.
Паралелепіпед залишається паралелепіпедом у всіх випадках, коли за його основу вважаємо довільну його грань (див. рисунок). 
Теорема 2. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці й точкою перетину діляться навпіл.
Із цього випливає, що точка перетину діагоналей паралелепіпеда є його центром симетрії.
Зверніть увагу: у прямого паралелепіпеда є чотири діагоналі, які попарно дорівнюють одна одній.
На рисунку Sprav-ukr4916 fmt.jpeg; Sprav-ukr4917 fmt.jpeg.
Це випливає з властивостей похилих, оскільки Sprav-ukr4918 fmt.jpeg— рівні перпендикуляри до площини основи ABCD.


                                    Image8756image 220 fmt.jpeg


Прямий паралелепіпед, у якого основою є прямокутник, називається прямокутним паралелепіпедом (див. рисунок).


                                    Image8756image 106 fmt.jpeg


Усі грані прямокутного паралелепіпеда — прямокутники, які можна розбити на три пари рівних між собою. Довільну грань прямокутного паралелепіпеда можна вважати його основою. Враховуючи, що при паралельному проектуванні довільний паралелограм може зображуватися довільним паралелограмом, зображення прямокутного паралелепіпеда ніяк не відрізняється від зображеня будь-якого прямого паралелепіпеда.
Довжини непаралельних ребер називаються лінійними розмірами (вимірами) прямокутного паралелепіпеда.
Теорема 3. У прямокутному паралелепіпеді всі діагоналі рівні. Квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.
Усі двогранні кути прямокутного паралелепіпеда є прямими.
Прямокутний паралелепіпед має три пари рівних між собою діагональних перерізів. Кожний із цих перерізів є прямокутником (див. рисунки).


                                Image8756image 182 fmt.jpeg


Кожна пара перерізів перетинається по прямій, яка проходить через точки перетину діагоналей протилежних граней. Відрізки між цими точками є паралельними й дорівнюють одному з ребер прямокутного паралелепіпеда.
Прямокутним є трикутник, який утворюється діагоналлю прямокутного паралелепіпеда, діагоналлю бічної грані й стороною основи (див. рисунок). Наприклад, Sprav-ukr4921 fmt.jpeg Sprav-ukr4922 fmt.jpeg.
Прямокутний паралелепіпед має центр симетрії — це точка перетину його діагоналей.
Він також має три площини симетрії, які проходять через центр симетрії паралельно граням.
Прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, називається кубом.
Площина будь-якого діагонального перерізу куба є його площиною симетрії. Таким чином, куб має дев’ять площин симетрії.
На рисунку розглянемо взаємне розміщення деяких елементів прямого паралелепіпеда:
 

Image8756image 239 fmt.jpeg


Sprav-ukr4931 fmt.jpeg— кут між діагоналлю бічної грані й площиною основи ( Sprav-ukr4932 fmt.jpeg — перпендикуляр, Sprav-ukr4933 fmt.jpeg — похила, СD — проекція).
Sprav-ukr4934 fmt.jpeg— кут між діагоналлю прямого паралелепіпеда й площиною основи ( Sprav-ukr4934 fmt.jpeg— перпендикуляр, Sprav-ukr4936 fmt.jpeg — похила, АС — проекція).
Sprav-ukr4937 fmt.jpeg— кут нахилу діагоналі Sprav-ukr4938 fmt.jpeg до бічної грані Sprav-ukr4939 fmt.jpeg.
Нехай Sprav-ukr4942 fmt.jpeg — прямий паралелепіпед (див. рисунок), де ABCD — ромб. Проведемо його переріз площиною, що проходить через діагональ основи BD і вершину Sprav-ukr4943 fmt.jpeg.


Піраміда

Пірамідою називається многогранник, який складається з плоского многокутника — основи піраміди, точки, яка не лежить у площині основи — вершини піраміди, і всіх відрізків, що сполучають вершину піраміди з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними ребрами. Висота піраміди — перпендикуляр, опущений із вершини піраміди на площину основи.

Піраміда називаєтьсяn-кутною, якщо її основою є n-кутник. Трикутна піраміда називається також тетраедром. Бічна грань піраміди — трикутник. Однією з його вершин є вершина піраміди, а протилежною стороною — сторона основи піраміди.
На рисунку SO — висота піраміди. Тоді Sprav-ukr4954 fmt.jpeg— кут між бічним ребром і площиною основи (SO — перпендикуляр, SА — похила, OА — проекція).


                                      Image8756image 183 fmt.jpeg


З основи висоти піраміди (точки О) проведемо перпендикуляр на сторону основи (наприклад, АЕ). Основу цього перпендикуляра (точку F) з’єднаємо з вершиною піраміди (точкою S). За теоремою про три перпендикуляри:Sprav-ukr4955 fmt.jpeg . (SO — перпендикуляр, SP — похила, OF — проекція, Sprav-ukr4956 fmt.jpegза побудовою.) Отже, Sprav-ukr4957 fmt.jpeg— лінійний кут двогранного кута між площиною бічної грані ASEі площиною основи.
Для розв’язування задач про піраміду дуже важливо з’ясовувати, де розміщена основа її висоти.
1. Якщо виконується хоча б одна з таких умов:
• усі бічні ребра піраміди рівні;
• усі бічні ребра нахилені до площини основи під одним і тим самим кутом;
• усі бічні ребра утворюють однакові кути з висотою піраміди;
• усі бічні ребра рівновіддалені від основи висоти, — то основою висоти піраміди є центр кола, описаного навколо основи піраміди.
Бічне ребро l, висота H і радіус R описаного навколо основи кола утворюють прямокутний трикутник:

                                       Image8756image 109 fmt.jpeg


У цьому випадку бічну поверхню можна знайти за формулою Sprav-ukr4958 fmt.jpeg Sprav-ukr4959 fmt.jpeg, де l — довжина бічного ребра, Sprav-ukr4960 fmt.jpeg, Sprav-ukr4961 fmt.jpeg...  — плоскі кути при вершині.
2. Якщо виконується хоча б одна з таких умов:
• всі бічні грані нахилені до площини основи під одним і тим самим кутом;
• усі бічні грані мають однакові висоти;
• висоти бічних граней утворюють однакові кути з висотою піраміди;
• бічні грані рівновіддалені від основи висоти, — то основа висоти лежить у центрі кола, вписаного в основу піраміди.
На рисунку Sprav-ukr4962 fmt.jpeg— прямокутний Sprav-ukr4963 fmt.jpeg, Sprav-ukr4964 fmt.jpeg — радіус вписаного кола в ABCDEF;


                                       Image8756image 221 fmt.jpeg


H=SO — висота піраміди, SP — висота бічної грані;
Sprav-ukr4966 fmt.jpeg— лінійний кут двогранного кута між бічною гранню й площиною основи;

О — центр вписаного в основу кола, тобто точка перетину бісектрис ABCDEF.

У цьому випадку Sprav-ukr4967 fmt.jpeg.
3. Якщо бічне ребро перпендикулярне до площини основи, то це ребро є висотою піраміди (див. рисунки).


                                      Image8756image 110 fmt.jpeg


У цьому випадку Sprav-ukr4968 fmt.jpegі Sprav-ukr4969 fmt.jpeg — кути нахилу бічних ребер SВ і SС відповідно до площини основи. Sprav-ukr4970 fmt.jpeg є лінійним кутом двогранного кута між бічними гранями SAC і SBA.


                                      Image8756image 184 fmt.jpeg


4. Якщо бічна грань перпендикулярна до площини основи (див. рисунок), то висотою піраміди буде висота цієї грані (за теоремою «Якщо пряма, яка лежить в одній із двох перпендикулярних площин, перпендикулярна до прямої їх перетину, то вона пер­пендикулярна до другої площини»).


                                      Image8756image 111 fmt.jpeg


5. Якщо дві бічні грані перпендикулярні до площини основи, то висотою піраміди є їх загальне бічне ребро.


Правильні многогранники

Опуклий многогранник називається правильним, якщо його грані є правильними многогранниками з однією й тією самою кількістю сторін, а в кожній вершині многогранника збігається одне й те ж саме число ребер.
Існує п’ять типів правильних опуклих многогранників: правильний тетраедр, куб, октаедр, додекаедр, ікосаедр.
1. У правильного тетраедра грані — правильні трикутники; у кожній вершині збігається по три ребра. Тетраедр — трикутна піраміда, усі ребра якої рівні.
2. У куба всі грані — квадрати; у кожній вершині збігається по три ребра. Куб — прямокутний паралелепіпед з однаковими ребрами.
3. В октаедра грані — правильні трикутники. У кожній його вершині збігається по чотири ребра.
4. У додекаедра грані — правильні п’ятикутники. У кожній його вершині збігається по три ребра.
5. В ікосаедра грані — правильні трикутники. У кожній його вершині збігається по п’ять ребер.
На рисунках наведено приклади правильних многогранників із назвами.


                                          Image8756image 240 fmt.jpeg